E. and E. , La tribu engendrée par Y est ?(Y ) = {Y ?1 (A), A ? E}. La famille ?(Y ) est une tribu et ?(Y ) ? A, Définition 9.2.1. Soit Y v.a.à valeurs dans un espace mesurable quelconque

S. Soit-b-une-tribu-?-a,-on-dit-que-z-est-b-mesurable and . ?a-?-e-,-z-?-;-a)-?-b,

, Prenons une variable Z ?(Y )-mesurable comme dans la définition cidessus. La tribu ?(Y ) représente lesévénements relatifsà Y (tous ceux qui peuvent se décrire en terme de il est arrivé telle choseà Y ). Dire que Z est Y -mesurable revientà dire que tous lesévénements relatifsà Z peuvent se décrire comme desévénements relatifsà Y et donc que Z est une fonction de Y

, Soit B une tribu ? A. Soit X une v.a.r. intégrable. Il existe une et une seule v.a.r. intégrable, appelée espérance conditionnelle de X sachant B et notée E(X|B)

, La variable E(X|B) vérifie en outre que ?Z v.a.à valeurs dans R d , B-mesurable et bornée, E(XZ) = E(E(X|B)Z)

, Soit X une v.a.r. et Y une v.a. quelconque, l'espérance conditionnelle de X sachant Y

, La définition ci-dessus inclut la définition 9, vol.1

, (ii) linéarité : ?a, b ? R, E(aX + bY |B) = aE(X|B) + bE

. Démonstration,

. X-est-b-mesurable and E. ?b-?-b, X1 B ) donc E(X|B) = X (ii) soit B ? B, E((aE(X|B) + bE(Y |B))1 B ) = aE(E(X|B)1 B ) + bE(E(Y |B)1 B ) = aE(X1 B ) + bE

, = E((aX + bY )1 B )

, X|B) + bE(Y |B) est B-mesurable (car la somme de deux variables B-mesurable est B-mesurable

. ?-?-b,

P. Del-moral, B. Rémillard, and S. Rubenthaler, Une introduction aux probabilités, 2006.

R. Durrett, Probability : theory and examples, 1996.

J. Marco, Mathématiques L1. Pearson Education, 2007.

J. Marco, Mathématiques L2. Pearson Education, 2007.

J. Jacod and P. Protter, L'essentiel en théorie des probabilités, 2003.

D. Williams, Probability with martingales. Cambridge Mathematical Textbooks, 1991.