La tribu engendrée par Y est ?(Y ) = {Y ?1 (A), A ? E}. La famille ?(Y ) est une tribu et ?(Y ) ? A, Définition 9.2.1. Soit Y v.a.à valeurs dans un espace mesurable quelconque ,
,
, Prenons une variable Z ?(Y )-mesurable comme dans la définition cidessus. La tribu ?(Y ) représente lesévénements relatifsà Y (tous ceux qui peuvent se décrire en terme de il est arrivé telle choseà Y ). Dire que Z est Y -mesurable revientà dire que tous lesévénements relatifsà Z peuvent se décrire comme desévénements relatifsà Y et donc que Z est une fonction de Y
, Soit B une tribu ? A. Soit X une v.a.r. intégrable. Il existe une et une seule v.a.r. intégrable, appelée espérance conditionnelle de X sachant B et notée E(X|B)
, La variable E(X|B) vérifie en outre que ?Z v.a.à valeurs dans R d , B-mesurable et bornée, E(XZ) = E(E(X|B)Z)
, Soit X une v.a.r. et Y une v.a. quelconque, l'espérance conditionnelle de X sachant Y
, La définition ci-dessus inclut la définition 9, vol.1
, (ii) linéarité : ?a, b ? R, E(aX + bY |B) = aE(X|B) + bE
,
X1 B ) donc E(X|B) = X (ii) soit B ? B, E((aE(X|B) + bE(Y |B))1 B ) = aE(E(X|B)1 B ) + bE(E(Y |B)1 B ) = aE(X1 B ) + bE ,
, = E((aX + bY )1 B )
, X|B) + bE(Y |B) est B-mesurable (car la somme de deux variables B-mesurable est B-mesurable
,
Une introduction aux probabilités, 2006. ,
Probability : theory and examples, 1996. ,
, Mathématiques L1. Pearson Education, 2007.
, Mathématiques L2. Pearson Education, 2007.
L'essentiel en théorie des probabilités, 2003. ,
Probability with martingales. Cambridge Mathematical Textbooks, 1991. ,