. Idée, Par récurrence sur m ? n

>. Soit-m, On suppose que les composantes connexes de A m?1 et A m sont de taille 2 n . Si C est une composante connexe de A m+1 , le lemme 4 et l'hypothèse de récurrence permettent de conclure que C est de taille 2 n ou 2 n+1 . On montre ensuite par l'absurde que C n'est pas de taille 2 n+1 , car cela entraînerait

. Sinon, le degré de connexion de A : pour un m ? n, les composantes connexes de A m sont toutes de taille 2 n . A numérotation des états prêt, il ne peut donc y avoir qu'un nombre

]. A. Références1, I. Akhavi, S. Klimann, J. Lombardy, M. Mairesse et al., On the finiteness problem for automaton (semi)groups, International Journal of Algebra and Computation, 2011.

A. S. Antonenko, On transition functions of Mealy automata of finite growth, Matematychni Studii, vol.29, issue.1, pp.3-17, 2008.

L. Bartholdi, FR Functionally recursive groups, Self-similar groups ? a GAP package, 2011.

G. The and . Group, GAP ? Groups, Algorithms, and Programming, Version 4, 2008.

R. I. Grigorchuk, On Burnside's problem on periodic groups, Funktsional. Anal. i Prilozhen, vol.14, issue.1, pp.53-54, 1980.

I. Klimann, The finiteness of a group generated by a 2-letter invertible-reversible Mealy automaton is decidable, STACS, 2013.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00875177

I. Klimann, J. Mairesse, and M. Picantin, Implementing computatioons in automaton (semi)groups, CIAA, number 7381 in LNCS, pp.240-252, 2012.

Y. Muntyan and D. Savchuk, automgrp Automata Groups ? a GAP package, 2008.

V. Nekrashevych, Self-similar groups, volume 117 of Mathematical Surveys and Monographs, 2005.

P. S. Novikov, On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Trudy Mat. Inst. Steklov, vol.44, pp.1-143, 1955.

D. Savchuk and Y. Vorobets, Automata generating free products of groups of order 2, Journal of Algebra, vol.336, issue.1, pp.53-66, 2011.
DOI : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.049