L'Algorithme Lagrangien augmenté hyperbolique
Résumé
Dans cette note, nous nous intéressons à résoudre le problème d'optimisation convexe avec des contraintes d'inégalité.
où
m}, est l'ensemble convexe réalisable du problème (1) et où la fonction f : R n → R est convexe, g i : R n → R, i = 1, ..., m, soient des fonctions convexes, nous supposons que f, g i sont continuellement différentiables. Les algorithmes Lagrangiens augmentés, également appelés algorithmes de multiplicateurs de Lagrange, sont importants pour résoudre ce type de problème. Ce type d'algorithme a été initialement étudié dans les travaux de [4], [8] et [9]. Actuellement, il existe une grande variété d'algorithmes basés sur différents types de fonctions Lagrangiennes augmentées, pour voir cette variété de fonctions, voir [2].
Dans cette note, nous allons considérer l'algorithme Lagrangien augmenté hyperbolique (HALA) ou également appelé algorithme du multiplicateur hyperbolique (HMA), pour résoudre le problème ci-dessus. Cet algorithme a été proposé initialement dans [10], [11] et [12]. Il est ensuite étudié plus rigoureusement dans le cas convexe, voir [6]. Dans des travaux récents, la théorie de la convergence du HALA a été étendue à des espaces mathématiques plus généraux, voir [2]; et aussi dans un autre article, la convergence a été assurée en considérant des conditions de qualification plus faibles, voir [1]. Cela nous motive à continuer à etudier ce nouvel algorithme.
Dans ce travail, nous nous intéressons principalement à résoudre ce problème, pour cela, nous considérons des problèmes convexes connus dans la littérature (voir [3] et [5]). L'objectif principal de notre travail était de montrer que nous résolvons les mêmes problèmes convexes étudiés dans [1], et que nous obtenons de meilleurs résultats de calcul par rapport à eux. Afin d'obtenir ces bons résultats, nous avons réalisé des tests numériques préalables, afin de trouver des paramètres initiaux appropriés.
Tout au long de notre travail, nous considérerons les hypothèses suivantes : C1. L'ensemble optimal X * est non vide, fermé, borné et, par conséquent, compact.
C2. La qualification des contraintes de Slater est satisfaite, c'est-à-dire qu'il existe x ∈ S qui satisfait g i (x) < 0, pour i = 1, . . . , m.
En raison de l'hypothèse C2, il existe λ * ∈ R m tel que les conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) soient vérifiées, c.-à-d.,
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