Quantum mechanics: second quantization and resolvent
Mécanique quantique : seconde quantification et résolvante
Résumé
The aim of this M2 course (taught from 2001 to 2013 at the Physics Department of ENS Ulm) is to provide a thorough grounding in the simple but essential theoretical tools needed to understand quantum systems studied experimentally in low-energy physics - in the field of cold atoms, quantum optics, condensed matter physics, and coupled quantum systems in general. The course is structured around two main themes: systems of identical particles (including interacting Bose-Einstein condensates) and quantum systems with an energy continuum (including the coupling of a small system to a reservoir).
The course includes the following chapters: 1. Indistinguishable particles; 2. The formalism of second quantization; 3. Applications of second quantization (Wick's theorem, diagonalization of quadratic Hamiltonians, Gross-Pitaevskii equation and Bogoliubov theory); 4. The resolvent (projector method and effective Hamiltonian, many-body Green's functions, scattering theory, scattering length); 5. The quantum master equation (Born-Markov approximation, secular approximation, Lindblad form, Monte Carlo wave functions, stochastic Heisenberg equations).
L'objectif de ce cours de M2 (enseigné de 2001 à 2013 au département de physique de l'ENS Ulm) est de se familiariser en profondeur avec les outils théoriques simples mais incontournables permettant de comprendre les systèmes quantiques étudiés expérimentalement en physique des basses énergies - dans le domaine des atomes froids, de l'optique quantique, de la physique de la matière condensée, en général des systèmes quantiques couplés. Le cours s'articule autour de deux thématiques principales, les systèmes de particules identiques (dont les condensats de Bose-Einstein en interaction) et les systèmes quantiques comportant un continuum d'énergie (ce qui inclut le couplage d'un petit système à un réservoir).
Le cours comporte les chapitres suivants : 1. Particules indiscernables ; 2. Le formalisme de la seconde quantification ; 3. Applications de la seconde quantification (théorème de Wick, diagonalisation d'hamiltoniens quadratiques, équation de Gross-Pitayevski et théorie de Bogolioubov) ; 4. La résolvante (méthode des projecteurs et hamiltonien effectif, fonctions de Green à N corps, théorie de la diffusion, longueur de diffusion) ; 5. L'équation pilote (approximation de Born-Markov, approximation séculaire, forme de Lindblad, fonctions d'onde Monte-Carlo, équations de Heisenberg stochastiques).
Mots clés
Identical particles
Second quantization
Wick's theorem
Gross-Pitaevksii equation
Bogoliubov theory
Quadratic Hamiltonians
Resolvent Operator
Many-body Green's functions
Effective Hamiltonian
Scattering Theory
Scattering Length
Quantum Master Equation
Born Approximation
Markov Approximation
Lindblad form
Monte Carlo Wavefunctions
Stochastic Heisenberg Equations
Particules identiques
Seconde quantification
Théorème de Wick
Équation de Gross-Pitayevski
Théorie de Bogolioubov
Hamiltoniens quadratiques
Résolvante de l'hamiltonien
Fonctions de Green à $N$ corps
Hamiltonien effectif
Théorie de la diffusion
Longueur de diffusion
Équation pilote
Approximation de Born
Approximation de Markov
Forme de Lindblad
Fonctions d'onde Monte-Carlo
Équations de Heisenberg stochastiques
Domaines
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